LONGITUD DE UN SEGMENTO DE RECTA.
En la resolución de problemas de geometria analotica frecuentemente se requiere hallar la longitud de
un segmento de recta.
Vamos a empezar recordando que:
Si tenemos una recta r, entonces la parte comprendida de entre sus puntos A y B, ambos incluidos, se llama segmento de recta AB y esta es representada con el símbolo AB
Segmento de recta AB
Un segmento de recta se clasifica como
- Horizontal, si es paralelo o esta sobre el eje x.
- Vertical, si es paralelo o esta sobre el eje y.
- Inclinado, si no es paralelo ni está sobre algún eje.
a) segmento horizontal b) segmento vertical
c) segmento inclinado
Formula para obtener o calcular la LONGITUD (dimensión de una linea o de un cuerpo considerando su extensión en linea recta) de estos tipos de segmentos de recta.
Sean los puntos P1(x1,y0) y P2 (x2,y0) los puntos que son extremos al segmento de recta horizontal p1p2 y sea el punto A donde la recta corta el eje y, es decir, el punto A(0,y0).
Como los puntos A, P1 y P2 pertenecen a una misma recta y P1 esta entre A y P2'
entonces la distancia dirigida determinada por estos puntos da la siguiente ecuación:
AP1 + P1P2 = AP2
Donde
AP1 = x1 y AP2 = x2'
Luego
X1 + P1p2 = x2
Al poner x al lado derecho de la ecuación resulta
P1P2= x2 - x1
Ahora para la distancia vertical que seria PQ del segmento de recta
PQ = y2 - y1
1. Si la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto (x2) menos el valor de (x1) si la abscisa x2 es mayor a la abscisa x1 , la distancia es positiva, caso contrario será negativo
Geométricamente : la distancia es positiva si x1 esta de el lado derecho a lo contrario si esta de lado
izquierdo será negativa
a) como x2 es mayor que x1 ( x2>x1), la distancia p1p2 es positiva
b) puesto que x2 es menor que x1 (x2<x1), la distancia p1p2 es negativa.
2. La distancia desde un primer punto a un segundo punto en una recta vertical es igual al valor de la ordenada de el segundo punto (y2) menos el valor de (y1) que es la primera ordenada
si y2 es mayor que y1 la distancia es positiva en caso contrario será negativo es decir y1 mayor que y2 es negativo
Geométricamente: la distancia es positiva si y2 esta arriba de y1; en caso contrario de esto será negativo
Si no queremos la dirección de un segmento de recta sino únicamente longitud la magnitud se determinara por:
P1p2=|x2-x1| horizontal
P1p2=|y2-y1| vertical
Las rayas verticales representan el valor absoluto, en este ejemplo vamos a ver como podemos
calcular la longitud de un segmento de recta inclinado, sin interesarnos en la distancia dirigida en los
puntos extremos
1. Calcula la longitud del segmento de recta indicado de acuerdo con la figura, las coordenadas de los puntos extremos del segmento de recta son A(3,-7) y B(7,2)
tenemos que construir un triángulo rectángulo que tenga como hipotenusa el segmento de recta AB
Las longitudes de los catetos de AC y BC son:
AC=|x2-x1| BC=|y2-y1|
AC=|7-3|=4 BC=|2-(-1)|=|3|=3
De acuerdo con el teorema de Pitágoras :
(AB)x2=(AC)x2 + (BC)x2
(AB)x2=(4)x2+(3)x2
(AB)x2=16+9
(AB)x2=25
AB=raíz25
AB=5
Por lo tanto el resultado de la longitud del segmento de recta AB es igual a 5 unidades
Se determina con la siguiente formula
P1P2= d = raíz2 (x2-x1)x2 + (y2-y1)x2
Para obtener el perímetro esta la siguiente formula
(P)= perímetro
P= AB+ BC+AC
Y se calcula la longitud de cada lado de la siguiente manera
AB= raíz [3-(-5)]x2+(2-3)x2=raíz 8x2+(-1)x2=raíz 65=8.06
BC=raíz(-1-3)x2+(-4-2)x2=raíz 16+36=raíz 52=7.21
AC=raíz [-1-(-5]x2+(-4-3)x2=raíz 16+49= raíz 65= 8.06
P= AB+BC+AC =8.06+7.21+8.06=23.33
Para obtener el Area (A) utilizamos la formula conocida como de Herón
A=raíz s(s-a)(s-b)(s-c)
Donde (s) es igual al perímetro dividido entre 2 y a,b y c son las longitudes de los lados del triángulo respectivamente
S= 23.33/2=11.665
S-a=11.665-7.21=4.455
S-b=11.665-8.06=3.605
S-c=11.665- 8.06= 3.605
sustituciones:
A= raíz 11.665 (4.455)(3.605)(3.605)
A= raíz 675.37= 25.98
Da como resultado 25.98 si lo redondeamos tenemos un resultado de 26 unidades cuadradas
Hjbjibji
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